債券的定價方式

作者:股感知識庫   |   2020 / 03 / 13

文章來源:股感知識庫   |   圖片來源:股感知識庫


今天要來介紹債券價格的計算。債券除了當初發行的面額以外,跟股票一樣,也有一個在市場上交易價格,也就是「市價」。只是不同於股價多建立在投資者對該公司未來的獲利預期,並無法完全準確的計算股價,債券價格則是有原則上的計算公式,只要知道該債券的面額、票面利息、到期日及市場利率,其實就能推算出該價券的市場價格喔!

債券價格的前哨站:先談談折現吧

然而在計算債券的價格之前,必須要先來了解一個金融上的重要觀念:折現。「折現」的核心原則,其實就是在說「未來一段時間的某筆金額,在現在值多少錢」的概念。

我們以銀行存款作為舉例,假設你今天存了 100 元,銀行年利率為 10%,那麼一年後你能收回 110 元。而如果現在我把問題倒著 問,假設一年後你可以收到 110 元,銀行年利率為 10%,那麼這筆未來的 110 元等同是現在的多少錢?答案很顯然易見的是 100元。

因此只要知道了市場利率,我們即能將資金在現在及未來的價值自由換算,並且可以利用以下的常見名詞歸類折現的重點。

  • 現值:資金於目前時點的價值
  • 終值:資金於未來時點的價值
  • 折現:將資金從終值折算回現值的過程
  • 折現率:將資金從終值折算回現值所使用的市場利率

進入正題:如何計算債券價格

現在有一張兩年期的債券,面額為 1 萬元,票面年利率為 1.1%,要如何計算這張價券的價格?我們先來做個簡單理解,面額 1 萬元票面年利率為 1.1%的債券,因為債券利息通常半年計息及付息一次,因此每半年可領回 55 元的利息,而因為是張兩年期的債券,所以在第二年期終我們可領回 55 元的利息+ 1 萬元的本金。

接下來是重點,我們假設未來市場利率為 10%則半年利率為 5%(折現率),利用上一段提到折現的概念,我們就能計算出這張債券的價格,可配合下方債券價格計算示意圖作理解。

  1. 前半年可領回利息 55 元,進行折現 55/(1+5%)=52
  2. 第ㄧ年可領回利息 55 元,進行折現 55/(1+5%)250
  3. 一年半年時可領回利息 55 元,進行折現 55/(1+5%)348
  4. 第二年可領回利息+本金共 55+ 10,000=10,055,進行折現 10,055/(1+5%)48,272
  5. 該筆債券於未來的現金流,通通折算回現值後為 52 + 50 + 48 + 8,272=8,422,此為該債券的市場價格。

如果我們試著把價券價格的計算方式,以數學原則化的方式表達,則是如下圖所示。其中用以折現的市場利率可以理解成,該張債券的到期殖利率或是年化投資報酬率。

債券面額為什麼跟債券價格不同?

在上面的例子可以看到,債券價格 8,422 是低於債券面額 1 萬的,為什麼呢?其中關鍵在於票面利率與市場利率的差別。當票面利率低於市場利率,可以想成此張債券所能提供的利息低於市場行情,所以必須以較低的價格出售,才能吸引到債券投資人,這樣的情況又稱為「債券折價」;反之,當票面利率高於市場利率時,此張債券所能提供的利息會高於市場行情,反而可以較高的價格售出,這樣的情況稱為「債券溢價」。而當票面利率等於市場利率時,則會得出的債券價格剛好等於面額的「平價債券」,有興趣的讀者可以試著動手自行驗證看看,而我們將債券價格與票面利率、市場利率的比較整理如下圖。

由於債券具有到期日,且根據債券的訂價公式我們可以知道,「債券價格」是由「未來的現金流折現」而來,隨著時間經過,距離到期日越來越近時,未來能領取的利息次數將會逐漸減少,而在到期日當天,所有的利息都已經領取完畢,只剩下到期日該拿回等同於面額的本金,此時計算債券價格的當下,這筆金額也不再需要折現,因此我們可以發現債券價格的重要特性:債券價格在到期日時會等同於面額,即「債券價格回歸面額」的性質。

然而無論債券目前為平價、溢價或折價,離到期日越近,折現期數越來越少,折現對債權價格造成的影響會逐漸降低,因此就算債券價格與市場利率,在到期日之前會有波動,但債券價格大致上會隨著到期日越來越近,逐步朝票面金額收斂。即溢價債券的溢價幅度會逐漸縮小,折價債券的折價程度也會漸漸減少,直至到期日當天剛好債券價格等於面額。反之,若到期時債券的價格不等於面額,市場上將出現套利行為:「購買價格低於面額的債券,賣出價格高於面額的債券」,市場力量也將使到期債券的價格等於面額。

債券價格的回歸面額特性,也能讓我們發現,債券票面利率的高低並不會影響該債券的殖利率,也就是投資人將債券持有至到期時,平均每年能獲得的報酬率,不會受到票面利息的高低影響。

由於債券「到期殖利率」代表著「投資人基於持有債券的風險,對該債券所要求的市場回報」,因此「違約風險、到期期限皆一樣」的同種債券,應會具備一樣的到期殖利率,債券殖利率因而也代表了同類型債種的「市場利率」。

因此,當票面利率高於殖利率時,投資者購買了溢價債券,雖然賺取了較高的票面利息,但到期領回面額時將承受資本損失;反之若投資者購買票面利率較低的折價債券,雖然領取較少的票面利息,但當債券到期時可獲得資本利得。魚與熊掌不可兼得,到底要先賺取利息還是賺取本金(資本利得),則看投資者的偏好所決定。

特殊債券的價格計算

一般固定付息的債券都能以上面的方式計算出價格,然而另外還有一些較特別的價券,其價格計算方式其實都是從一般債券價格的計算衍伸而來,因此仍舊不脫價券價格的計算原則:「將債券所有未來的現金流折算回現值,即為該債券的價格」。

  • 零息債券

零息債券(Zero Coupon Bond)是持有期間不支付利息的債券,通常在到期日按面值支付給債券持有人,投資者通過以債券面值的折扣價買入來獲利。簡單來講就是沒有利息的債券,或是可以理解成利息通通加在本金上,等到到期日時一次領回。也因此,零息債券必定會是折價債券

所以零息債券的價格計算特別簡單,由於持有期間沒有利息,等同於將一般債券價格計算公式中的票面利息全部視為 0,會發現其實就是直接折算終期本金的現值就是零息債券的價格。例如,一張 3 年期面額為 100 萬元的零息債券,市場利率為 10%,其價格為 1,000,000/(1=10%)3751,314 元。可以寫成公式為 P=F/(1+i)tP=價格、F=面額、i=市場利率、t=距離本金到期期數。

  • 永續債券

債券(Perpetual Bond),又稱永久債券或萬年債券。是一種永恆的、沒有到期日期的債券,也稱為Perp。因此,它甚至可以被視為一種股權,而不是債務。永續債券按期支付債息直到永遠。永續債券產生永遠的現金流是永久性的。永續債券正好跟零息債券的特性相反,因為永遠不會到期所以可以視為無本金,而是永久性地領回票息。

根據價券價格計算的原則,永續債券的計算方式就是將每期的票息都折回現值即可得出價格,但問題來了,既然沒有到期日,要如何計算期數的上限呢?這邊就要使用到一些極限的數學觀念(註1),有興趣的讀者可參閱附註,而這邊直接給出答案,永續債券的價格公式為票面利息/市場利率。例如年利率 8%,面額 1000 的永續債券,其票面利息為 80 元,當市場利率為 10%時,其價格則為 80/10%=800元。

參考資料:維基百科、MBA智庫百科、聯博投信

 

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